21/12 Criteri di irriducbilità dei polinomi in $\mathbb Z[X]$ e $\mathbb Q[X]$.
20/12 Polinomi primitivi. Lemma di Gauss e Teorema di Gauss. Passaggio dell'irriducibilità da $\mathbb Z[X]$ a $\mathbb Q[X]$.
19/12 Teorema di Fattorizzazione unica in $K[X]$. Radici multiple e loro relazione con il polinomio derivato $f′(X),$ per $f(X) \in A[X]$. Polinomi irriducibili in $\mathbb C[X]$ e in $\mathbb R[X]$.
14/12 Il Massimo Comun Divisore e l'identità di Bezout in $K[X]$.
12/12 L'anello dei polinomi $A[X]$. Sia $A$ un dominio: divisione con il resto di polinomi. Il caso di $K[X]$ dove $K$ è un campo.
10/12 Sottogruppi: loro caratterizzazione ed esempi in $(\mathbb Z,+)$. Anelli. Definizioni ed esempi. Isomorfismi e omomorfismi di anelli.
7/12 Esercitazione Dott. Cigliola
5/12 Parità di una permutazione (con dimostrazione) e ordine di una permutazione. Composizione di permutazioni utilizzando la struttura ciclica. Gruppo alterno $A_n$.
30/11 Gruppo simmetrico $S_n$. Decomposizione in cicli di una permutazione. Ordine di un elemento in un gruppo. Gruppi ciclici e generatori. Esempi.
28/11 Isomorfismo fra il gruppo delle radici n-sime dell'unità e $(\mathbb Z_n, +)$. Gruppi ciclici. Caratterizzazione dei generatori.
26/11 Numeri complessi. Forma polare dei numeri complessi. Radici n-sime dell'unità e di un numero complesso in generale. Gruppo delle radici n-sime dell'unità. Definizione di sottogruppo e di omomorfismo di gruppi.
21/11 Teorema Cinese dei Resti. Calcolo della funzione di Eulero e sue proprietà. Teorema Cinese dei Resti. Equazioni diofantee in $2$ indeterminate $aX+bY = c$: risolubilità e calcolo delle soluzioni.
16/11 Prova del 9. Criteri di divisibilità. Congruenze lineari in una indeterminata $aX \equiv b \, (mod \,\, n)$: risolubilità e calcolo delle soluzioni. Calcolo della funzione di Eulero e sue proprietà.
14/11 Il gruppo ($\mathbb Z_n, +$). Sistemi completi di residui. Esempi di calcolo di somma e prodotto in $\mathbb Z_n$. Calcolo inverso aritmetico di un elemento modulo $n$. Definizione di funzione di Eulero.
12/11 Prima prova di valutazione in itinere
31/10 Elementi invertibili, primi e irriducibili. Teorema Fondamentale dell'aritmetica (dimostrazione per induzione). Applicazione: esistono infiniti numeri primi.
29/10 Massimo comune divisore in $\mathbb Z$. Scrittura di un numero in base $b$.
26/10 Il Principio di induzione, induzione forte e minimo: dimostrazione della loro equivalenza. Divisione euclidea.
20/10 Insieme quoziente. Teorema fondamentale sulla corrispondenza fra partizioni e relazioni di equivalenza di un insieme $X$. Esempi. Costruzione di $\mathbb Z$ come quoziente di $\mathbb N \times \mathbb N$.
17/10 Funzione caratteristica di un sottoinsieme. Relazioni di equivalenza su un inseme. Classi di equivalenza. Esempi.
12/10 Applicazione inversa a destra e inversa a sinistra. Relazioni con le proporietà di iniettività e suriettività di un'applicazione.
10/10 Applicazioni iniettive, suriettive e biiettive. Immagine e controimmagine di sottoinsiemi e loro relazioni con le proprietà di iniettività e suriettività. Esempi.
5/10 Operazioni fra relazioni (intersezione, unione, ecc...). Relazioni di ordine. Minimo, massimo, elementi massimali e minimali, elementi maggioranti e minoranti, sup e inf. Ordine lessicografico.
3/10 Relazioni. Proprietà delle relazioni: riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva, totale. Esempi ed esercizi. Corrispondenza inversa e corrispondenza composta (risp. relazione).
28/9 Famiglie di insiemi: definizione, unione e intersezione. Cardinalità di insiemi finiti. Corrispondenze. Elementi di calcolo combinatorio.
26/9 Introduzione al corso. Insiemi: definizione e prime proprietà (unione, intersezione e differenza di due insiemi). Descrizioni di alcuni quantificatori matematici (simboli di appartenenza di un elemento ad un insieme, inclusione di un insieme in un altro, implicazione ed equivalenza logica, etc....). Elementi di logica proposizionale, le Tavole della verità. Esercizi ed esempi. Il metodo di dimostrazione per assurdo.
20/12 Polinomi primitivi. Lemma di Gauss e Teorema di Gauss. Passaggio dell'irriducibilità da $\mathbb Z[X]$ a $\mathbb Q[X]$.
19/12 Teorema di Fattorizzazione unica in $K[X]$. Radici multiple e loro relazione con il polinomio derivato $f′(X),$ per $f(X) \in A[X]$. Polinomi irriducibili in $\mathbb C[X]$ e in $\mathbb R[X]$.
14/12 Il Massimo Comun Divisore e l'identità di Bezout in $K[X]$.
12/12 L'anello dei polinomi $A[X]$. Sia $A$ un dominio: divisione con il resto di polinomi. Il caso di $K[X]$ dove $K$ è un campo.
10/12 Sottogruppi: loro caratterizzazione ed esempi in $(\mathbb Z,+)$. Anelli. Definizioni ed esempi. Isomorfismi e omomorfismi di anelli.
7/12 Esercitazione Dott. Cigliola
5/12 Parità di una permutazione (con dimostrazione) e ordine di una permutazione. Composizione di permutazioni utilizzando la struttura ciclica. Gruppo alterno $A_n$.
30/11 Gruppo simmetrico $S_n$. Decomposizione in cicli di una permutazione. Ordine di un elemento in un gruppo. Gruppi ciclici e generatori. Esempi.
28/11 Isomorfismo fra il gruppo delle radici n-sime dell'unità e $(\mathbb Z_n, +)$. Gruppi ciclici. Caratterizzazione dei generatori.
26/11 Numeri complessi. Forma polare dei numeri complessi. Radici n-sime dell'unità e di un numero complesso in generale. Gruppo delle radici n-sime dell'unità. Definizione di sottogruppo e di omomorfismo di gruppi.
21/11 Teorema Cinese dei Resti. Calcolo della funzione di Eulero e sue proprietà. Teorema Cinese dei Resti. Equazioni diofantee in $2$ indeterminate $aX+bY = c$: risolubilità e calcolo delle soluzioni.
16/11 Prova del 9. Criteri di divisibilità. Congruenze lineari in una indeterminata $aX \equiv b \, (mod \,\, n)$: risolubilità e calcolo delle soluzioni. Calcolo della funzione di Eulero e sue proprietà.
14/11 Il gruppo ($\mathbb Z_n, +$). Sistemi completi di residui. Esempi di calcolo di somma e prodotto in $\mathbb Z_n$. Calcolo inverso aritmetico di un elemento modulo $n$. Definizione di funzione di Eulero.
12/11 Prima prova di valutazione in itinere
31/10 Elementi invertibili, primi e irriducibili. Teorema Fondamentale dell'aritmetica (dimostrazione per induzione). Applicazione: esistono infiniti numeri primi.
29/10 Massimo comune divisore in $\mathbb Z$. Scrittura di un numero in base $b$.
26/10 Il Principio di induzione, induzione forte e minimo: dimostrazione della loro equivalenza. Divisione euclidea.
24/10 Teorema di decomposizione di un'applicazione. I numeri naturali: postulati di Peano. Dimostrazioni per induzione.
20/10 Insieme quoziente. Teorema fondamentale sulla corrispondenza fra partizioni e relazioni di equivalenza di un insieme $X$. Esempi. Costruzione di $\mathbb Z$ come quoziente di $\mathbb N \times \mathbb N$.
17/10 Funzione caratteristica di un sottoinsieme. Relazioni di equivalenza su un inseme. Classi di equivalenza. Esempi.
12/10 Applicazione inversa a destra e inversa a sinistra. Relazioni con le proporietà di iniettività e suriettività di un'applicazione.
10/10 Applicazioni iniettive, suriettive e biiettive. Immagine e controimmagine di sottoinsiemi e loro relazioni con le proprietà di iniettività e suriettività. Esempi.
5/10 Operazioni fra relazioni (intersezione, unione, ecc...). Relazioni di ordine. Minimo, massimo, elementi massimali e minimali, elementi maggioranti e minoranti, sup e inf. Ordine lessicografico.
3/10 Relazioni. Proprietà delle relazioni: riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva, totale. Esempi ed esercizi. Corrispondenza inversa e corrispondenza composta (risp. relazione).
28/9 Famiglie di insiemi: definizione, unione e intersezione. Cardinalità di insiemi finiti. Corrispondenze. Elementi di calcolo combinatorio.
26/9 Introduzione al corso. Insiemi: definizione e prime proprietà (unione, intersezione e differenza di due insiemi). Descrizioni di alcuni quantificatori matematici (simboli di appartenenza di un elemento ad un insieme, inclusione di un insieme in un altro, implicazione ed equivalenza logica, etc....). Elementi di logica proposizionale, le Tavole della verità. Esercizi ed esempi. Il metodo di dimostrazione per assurdo.